本节核心：电场导致漂移（Drift），浓度梯度导致扩散（Diffusion）。这两种输运机制共同构成 PN 结、MOSFET 等半导体器件的物理基础。

1. 总体物理图像

载流子运动
   │
   ├── Electric Field
   │        ↓
   │      Drift
   │
   └── Concentration Gradient
            ↓
         Diffusion

上一课建立了：

能带 → Electron/Hole → 本征半导体 → Doping → Fermi Level → Carrier Concentration

这一课继续回答：电子和空穴为什么会产生净运动，以及这种运动如何形成电流。

2. 热运动与宏观电流

有限温度下，载流子一直存在随机热运动。微观速度并不为零，但方向随机，因此在均匀、无外场的材料中：

$$ \langle \mathbf v\rangle=0 $$

不会产生宏观净电流。

所以"粒子在运动"不等于"存在净输运"。需要电场或浓度梯度打破对称性。

3. Drift：电场驱动的漂移

电子电荷为：

$$ q_e=-q $$

在电场 $\mathbf E$ 中：

$$ \mathbf F=-q\mathbf E $$

因此电子漂移方向与电场相反：

Electric Field   →
Electron Drift   ←

但 conventional current 定义为正电荷运动方向，所以电子贡献的电流方向与电场相同：

Electron Drift   ←
Current          →
Electric Field   →

Hole 可视作正电荷：

$$ q_h=+q $$

因此：

Electric Field   →
Hole Drift       →
Current          →

结论：

电子和空穴的实际运动方向可以相反，但它们贡献的 conventional current 可以同向。

4. Mobility：迁移率

低电场下，漂移速度大小近似满足：

$$ v_d=\mu E $$

其中 $\mu$ 为 mobility，常用单位：

$$ \mathrm{cm^2/(V\cdot s)} $$

迁移率描述载流子在电场下产生定向运动的容易程度。

不同材料的载流子迁移率会有非常大的差异，甚至同种材料由于各向异性在不同的方向上也会有非常大的差异，比如石墨烯和石墨，basal-plane和edge-plane可能会相差3个数量级。

载流子不会在恒定电场下无限加速，因为晶体中不断存在：

phonon scattering
ionized impurity scattering
defect scattering
interface / surface scattering

可以理解为：

Electric Field
     ↓
Acceleration
     ↓
Scattering
     ↓
Acceleration
     ↓
Scattering
     ↓
稳定平均 Drift Velocity

一般而言，散射越强，mobility 越低。

5. Drift Current

电子漂移电流密度：

$$ \boxed{J_{n,\mathrm{drift}}=qn\mu_nE} $$

空穴漂移电流密度：

$$ \boxed{J_{p,\mathrm{drift}}=qp\mu_pE} $$

总漂移电流：

$$ \boxed{ J_{\mathrm{drift}} =q(n\mu_n+p\mu_p)E } $$

半导体电导率：

$$ \boxed{ \sigma=q(n\mu_n+p\mu_p) } $$

因此：

$$ \boxed{J=\sigma E} $$

这就是欧姆定律的电流密度形式。

于是上一课与本课连接起来：

Doping
 ↓
n / p
 ↓
Carrier Concentration
 ↓
σ = q(nμn+pμp)
 ↓
Electric Field
 ↓
Drift
 ↓
J = σE

6. Diffusion：浓度梯度驱动的扩散

即使：

$$ E=0 $$

只要载流子浓度不均匀，仍然会发生输运。

例如：

High Electron Concentration        Low Electron Concentration

● ● ● ● ● ● ● ●                  ●      ●
──────────────────────────────────────────→ x

由于随机热运动，载流子整体上从高浓度区域向低浓度区域扩散。

因此：

$$ \boxed{ \text{Concentration Gradient} \rightarrow \text{Diffusion} } $$

Drift 与 Diffusion 的核心区别：

机制驱动力

Drift Electric Field Diffusion Concentration Gradient

7. Fick's Law

粒子扩散通量满足：

$$ F=-D\frac{dn}{dx} $$

其中：

$F$：particle flux
$D$：diffusion coefficient
$dn/dx$：concentration gradient

负号表示粒子从高浓度向低浓度扩散。

8. Diffusion Current

电子扩散电流：

$$ \boxed{ J_{n,\mathrm{diff}} = qD_n\frac{dn}{dx} } $$

空穴扩散电流：

$$ \boxed{ J_{p,\mathrm{diff}} = -qD_p\frac{dp}{dx} } $$

这里的正负号不要只靠死记。

建议每次判断：

粒子从哪里向哪里运动？
粒子带正电还是负电？
conventional current 因此指向哪里？

9. 四个核心输运公式

Electron Drift

$$ \boxed{ J_{n,\mathrm{drift}} = qn\mu_nE } $$

Hole Drift

$$ \boxed{ J_{p,\mathrm{drift}} = qp\mu_pE } $$

Electron Diffusion

$$ \boxed{ J_{n,\mathrm{diff}} = qD_n\frac{dn}{dx} } $$

Hole Diffusion

$$ \boxed{ J_{p,\mathrm{diff}} = -qD_p\frac{dp}{dx} } $$

10. 总电子与空穴电流

电子：

$$ \boxed{ J_n = qn\mu_nE + qD_n\frac{dn}{dx} } $$

空穴：

$$ \boxed{ J_p = qp\mu_pE - qD_p\frac{dp}{dx} } $$

总电流：

$$ \boxed{ J=J_n+J_p } $$

也就是：

$$ J= qn\mu_nE +qD_n\frac{dn}{dx} +qp\mu_pE -qD_p\frac{dp}{dx} $$

这组 drift-diffusion equation 是半导体器件输运的基础。

其实公式完全不用记，物理图像非常清晰，drift电流一定正比于它的总通量，于是一定正比于当前位置当前位置总的载流子数密度，正比于迁移率；diffusion速率正比于浓度差。

11. Einstein Relation

漂移和扩散不是互不相关的两套机制。

非简并半导体中：

$$ \boxed{ \frac{D}{\mu} = \frac{k_BT}{q} } $$

即：

$$ \boxed{ D=\mu\frac{k_BT}{q} } $$

定义 thermal voltage：

$$ \boxed{ V_T=\frac{k_BT}{q} } $$

室温 $T\approx300\ \mathrm K$ 时：

$$ \boxed{ V_T\approx0.0259\ \mathrm V\approx26\ \mathrm{mV} } $$

因此：

$$ \boxed{D=\mu V_T} $$

Einstein relation 表明 mobility 和 diffusion coefficient 都与同一套载流子热运动、散射和输运机制有关。

12. 为什么这一课直接通向 PN Junction

将 p 型和 n 型材料接触：

p-type                        n-type

○ ○ ○ ○ ○ ○   |   ● ● ● ● ● ●
holes ↑              electrons ↑

接触瞬间存在很强的载流子浓度梯度。

电子：

n-region → p-region

发生 diffusion。

空穴：

p-region → n-region

也发生 diffusion。

于是：

p-type          Junction          n-type

Hole      → → →       ← ← ←      Electron

13. 扩散如何产生 Depletion Region

移动载流子扩散离开结区后，固定在晶格中的 ionized dopants 留下来。

p 区留下负的 ionized acceptor：

$$ A^- $$

n 区留下正的 ionized donor：

$$ D^+ $$

因此：

p side                         n side

A⁻ A⁻ A⁻ A⁻   |   D⁺ D⁺ D⁺ D⁺

形成：

$$ \boxed{\text{Space Charge Region}} $$

也就是后续要学习的：

$$ \boxed{\text{Depletion Region}} $$

14. Built-in Electric Field 与 Drift

空间电荷形成以后：

Negative                   Positive

A⁻ A⁻ A⁻   |   D⁺ D⁺ D⁺

产生内建电场，其方向从 n-side 指向 p-side。

这个 electric field 又驱动载流子产生 Drift。

因此 PN 结形成过程的核心链条是：

Concentration Gradient
        ↓
     Diffusion
        ↓
移动载流子离开结区
        ↓
Fixed Ionized Dopants
        ↓
Space Charge / Depletion Region
        ↓
Built-in Electric Field
        ↓
       Drift
        ↓
Opposes Further Diffusion

15. PN 结热平衡的核心思想

随着 diffusion 进行：

space charge 增加；
built-in electric field 增强；
drift 越来越强。

最终：

$$ \boxed{ J_{\mathrm{diff}} + J_{\mathrm{drift}} =0 } $$

于是：

$$ \boxed{J_{\mathrm{total}}=0} $$

注意：

热平衡并不是载流子停止运动，而是 Drift 与 Diffusion 的净电流恰好抵消。

这句话是理解 PN Junction 的钥匙。

16. 与制造工艺的联系

Ion Implantation 不只是"把 B、P、As 打进 Si"。

它实际上在制造空间分布：

$$ N_D(x),\quad N_A(x) $$

这些 doping profiles 决定平衡载流子分布和结结构，并进一步影响：

electric field
depletion width
junction depth
device current
leakage
breakdown behavior

因此可以建立：

Implant Energy / Dose
        ↓
Doping Profile
        ↓
Carrier Distribution
        ↓
Electric Field + Diffusion
        ↓
Junction Properties
        ↓
Device Electrical Behavior

所以：

工艺参数最终一定会落到器件电学性能上。

17. 本节必须掌握的概念

两种驱动力

$$ \boxed{ E\rightarrow Drift } $$

$$ \boxed{ \nabla n,\nabla p\rightarrow Diffusion } $$

Mobility

$$ v_d=\mu E $$

Drift Current

$$ J_{\mathrm{drift}} = q(n\mu_n+p\mu_p)E $$

Diffusion Current

$$ J_{n,\mathrm{diff}} = qD_n\frac{dn}{dx} $$

$$ J_{p,\mathrm{diff}} = -qD_p\frac{dp}{dx} $$

Einstein Relation