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| 学习层次 | 对应章节 | 学习目标 |
|---|---|---|
| 第一遍：理解现象 | 第 1～4、7～8 章 | 讲清楚 PN 结为什么形成、为什么能整流 |
| 第二遍：掌握计算 | 第 5～6、9、12 章 | 会计算内建电势、耗尽宽度、电场和电流 |
| 第三遍：连接工艺 | 第 10～11 章 | 理解掺杂、缺陷、热处理如何影响器件 |
| 最后：自查与复习 | 第 13～16 章 | 排除常见误区，完成自测，整理公式 |
0. 模型范围与符号约定
0.1 先说明我们正在研究什么
本课主要讨论同一种半导体材料内部形成的 PN 同质结，以硅为例。用于计算的基础模型通常作以下假设：
- 温度均匀；没有额外光照；载流子可采用非简并的玻尔兹曼统计。
- 施主和受主近似完全电离；远离结区的材料近似电中性。
- 推导简单耗尽宽度时，采用一维、两侧均匀掺杂的突变结，并忽略界面片电荷和边缘曲率。
- 推导理想二极管电流时，进一步假设稳态、低注入、耗尽区内产生与复合可以忽略，并忽略明显的串联电阻压降。
这些不是所有真实器件都满足的条件，而是帮助我们建立第一套可计算模型的近似。重掺杂简并、高注入、强隧穿、明显缺陷复合、异质结和纳米尺度输运，需要更完整的模型。1 2 3
0.2 全文统一使用“左 P、右 N”
x 增大的方向 →
P 区 冶金结 N 区
x = 0
───────────────┬──────────────┬──────────────┬───────────────
-xp 0 xn
<--------- 耗尽区 W --------->
W = xp + xn
这里 $x_p$ 和 $x_n$ 都表示正的长度。P 侧耗尽边界的位置是 $-x_p$，N 侧边界的位置是 $x_n$。
0.3 常用符号
| 符号 | 含义 | 常用单位或说明 |
|---|---|---|
| $q$ | 元电荷大小 | $q>0$；电子电荷为 $-q$ |
| $N_A$ | P 区有效净受主浓度 | $\mathrm{cm^{-3}}$ |
| $N_D$ | N 区有效净施主浓度 | $\mathrm{cm^{-3}}$ |
| $n,p$ | 电子、空穴浓度 | $\mathrm{cm^{-3}}$ |
| $n_i$ | 本征载流子浓度 | 随材料与温度变化 |
| $\rho_{\mathrm{ch}}$ | 空间电荷密度 | $\mathrm{C/cm^3}$，不是电阻率 |
| $\varepsilon_s$ | 半导体介电常数 | 使用厘米制时为 $\mathrm{F/cm}$ |
| $E(x)$ | 电场的 $x$ 分量 | $\mathrm{V/cm}$，不是能量 |
| $\phi(x)$ | 静电势 | $\mathrm V$ |
| $E_C,E_V,E_F$ | 导带底、价带顶、费米能级 | 能量，常用 $\mathrm{eV}$ |
| $V_{\mathrm{bi}}$ | 热平衡内建电势差 | 定义为 $\phi_n-\phi_p>0$ |
| $V$ | P 端相对 N 端的外加电压 | $V>0$ 正偏；$V<0$ 反偏 |
| $V_R$ | 反向偏压的正数幅值 | 反偏时 $V=-V_R$ |
| $V_T$ | 热电压 $k_BT/q$ | 不是 MOSFET 阈值电压 |
| $W$ | 耗尽区总宽度 | $\mathrm{cm}$ 或 $\mu\mathrm m$ |
| $J,I,A$ | 电流密度、电流、结面积 | $I=JA$ |
| $I_S$ | 理想二极管的反向饱和电流参数 | $\mathrm A$ |
本文用 $n_{p0}$ 表示“P 区平衡电子浓度”，用 $p_{n0}$ 表示“N 区平衡空穴浓度”。下标的第一个字母表示载流子种类，后面的区域下标说明它位于哪一侧。
1. PN 结到底是什么
1.1 不是简单把两块材料粘起来
PN 结是半导体内部由 P 型区域过渡到 N 型区域的结构。“把 P 型和 N 型接起来”适合作为理解载流子重新分布的思想实验，但实际制造通常是在同一材料中通过掺杂形成相邻区域，例如离子注入、杂质扩散或外延生长。4
原有 P 型硅
↓
在指定区域引入施主，并进行必要的激活处理
↓
该区域的有效施主超过受主
↓
局部成为 N 型
↓
形成 N/P 掺杂过渡区域
冶金结描述掺杂类型发生改变的位置；耗尽区描述偏置条件下形成的空间电荷区域。它们不是同一个概念。
1.2 P 区和 N 区各有什么
在远离结区、掺杂充分电离且非简并的准中性区域：
| 区域 | 多数载流子 | 少数载流子 | 平衡浓度近似 |
|---|---|---|---|
| P 区 | 空穴 | 电子 | $p_{p0}\approx N_A$，$n_{p0}\approx n_i^2/N_A$ |
| N 区 | 电子 | 空穴 | $n_{n0}\approx N_D$，$p_{n0}\approx n_i^2/N_D$ |
少数载流子的近似来自热平衡质量作用定律：
$$ np=n_i^2. $$
例如在 P 区，$p\approx N_A$，于是：
$$ n_{p0}\approx\frac{n_i^2}{N_A}. $$
多数、少数是相对浓度的概念，并不表示某一种载流子完全不存在。1 2
1.3 P 型不等于整块材料带正电
P 区的空穴正电荷，通常由电离受主的负电荷补偿；N 区的电子负电荷，通常由电离施主的正电荷补偿。
因此远离结区时，两边都可以近似电中性：
$$ \rho_{\mathrm{ch}} = q\left(p-n+N_D^+-N_A^-\right) \approx0. $$
这里 $N_D^+$ 和 $N_A^-$ 是电离施主、受主的数密度。
P 和 N 的名称说明主要由哪一种载流子导电，不是在给整块材料贴上“正电”或“负电”的标签。
2. 从扩散到耗尽区
2.1 浓度梯度先推动载流子重新分布
N 区电子浓度高，P 区电子浓度低，因此电子的净扩散方向是：
$$ \text{N 区}\rightarrow\text{P 区}. $$
P 区空穴浓度高，N 区空穴浓度低，因此空穴的净扩散方向是：
$$ \text{P 区}\rightarrow\text{N 区}. $$
P 区 N 区
空穴扩散 ─────────────→
电子扩散 ←─────────────
跨入对侧的载流子会改变局部载流子分布，并可与当地多数载流子复合。结附近逐渐出现移动载流子不足以补偿掺杂离子电荷的区域。1
2.2 移动载流子与固定掺杂离子必须分开看
| 对象 | 在通常器件工作时间尺度上的行为 |
|---|---|
| 电子、空穴 | 可以漂移、扩散，也可以产生与复合 |
| 电离施主 $D^+$、电离受主 $A^-$ | 位于晶格中的杂质原子，可近似看作固定 |
P 侧结附近空穴减少后，暴露出未被充分补偿的负受主电荷；N 侧电子减少后，暴露出未被充分补偿的正施主电荷：
P 侧耗尽区 N 侧耗尽区
A⁻ A⁻ A⁻ A⁻ | D⁺ D⁺ D⁺ D⁺
净负空间电荷 净正空间电荷
2.3 “耗尽”究竟耗尽了什么
耗尽的是用于局部电中性补偿的移动载流子，不是所有电荷。
真实耗尽区的 $n$ 和 $p$ 并不严格等于零。耗尽近似的含义是：在计算空间电荷密度时，忽略它们相对于电离杂质的贡献。1 4
于是：
$$ \rho_{\mathrm{ch}}(x) \approx \begin{cases} -qN_A, & -x_p<x<0,\\ +qN_D, & 0<x<x_n,\\ 0, & \text{耗尽区外}. \end{cases} $$
不要把这个近似理解成“耗尽区没有电荷”或“耗尽区绝不允许载流子通过”。
3. 内建电场与热平衡
3.1 内建电场从 N 指向 P
电场从正空间电荷指向负空间电荷。因此在“左 P、右 N”的约定下：
P 区 N 区
A⁻ A⁻ A⁻ ← E D⁺ D⁺ D⁺
E(x) < 0
也就是：
$$ \boxed{\mathbf E_{\mathrm{bi}}:\ \mathrm N\rightarrow\mathrm P.} $$
它不需要外加电源，而是由载流子重新分布和固定电荷共同建立起来的。1
3.2 漂移开始抵消扩散
电子带负电，漂移方向与电场相反，因此从 P 指向 N；空穴带正电，漂移方向与电场同向，因此从 N 指向 P。
把粒子运动方向与常规电流方向一起列出来：
| 过程 | 载流子净运动方向 | 常规电流方向 |
|---|---|---|
| 电子扩散 | N → P，向左 | P → N，向右 |
| 空穴扩散 | P → N，向右 | P → N，向右 |
| 电子漂移 | P → N，向右 | N → P，向左 |
| 空穴漂移 | N → P，向左 | N → P，向左 |
判断方向的顺序始终是：先确定粒子往哪走，再考虑它的电荷符号。
3.3 热平衡要求每一种载流子的净电流分别为零
电子电流密度：
$$ J_n = qn\mu_nE+qD_n\frac{dn}{dx}. $$
空穴电流密度：
$$ J_p = qp\mu_pE-qD_p\frac{dp}{dx}. $$
热平衡时，不仅总电流为零，而且有：
$$ \boxed{J_n=0,\qquad J_p=0.} $$
即：
$$ J_{n,\mathrm{drift}}=-J_{n,\mathrm{diff}}, \qquad J_{p,\mathrm{drift}}=-J_{p,\mathrm{diff}}. $$
仅仅知道 $J_n+J_p=0$，还不足以说明器件一定处于热平衡，例如受光照的开路器件也可以没有端口净电流。1 3
3.4 用上一课的 Einstein 关系检查方向
对于非简并、温度均匀的半导体：
$$ \frac{D_n}{\mu_n}=\frac{D_p}{\mu_p}=V_T, \qquad V_T=\frac{k_BT}{q}. $$
由 $J_n=0$ 可得：
$$ E=-V_T\frac{d\ln n}{dx}. $$
从 P 向 N，电子浓度增加，所以 $d\ln n/dx>0$，得到 $E<0$，与“N 指向 P”的判断一致。
同理由 $J_p=0$ 得：
$$ E=V_T\frac{d\ln p}{dx}. $$
从 P 向 N，空穴浓度下降，所以 $d\ln p/dx<0$，同样得到 $E<0$。
所谓动态平衡，是净输运的两个贡献抵消，不是电子和空穴停止热运动，也不是每个粒子各自经历两股可以直接观察的独立“电流”。
4. 内建电势：电场对应的能量尺度
4.1 电场、电势与电子势能的区别
三者的关系是：
$$ E(x)=-\frac{d\phi}{dx}, $$
$$ U_e(x)=-q\phi(x). $$
因此，静电势越高，电子的静电势能反而越低。
本课电场向左，因此静电势从 P 向 N 增加：
$$ \phi_n>\phi_p. $$
定义：
$$ \boxed{V_{\mathrm{bi}}=\phi_n-\phi_p>0.} $$
对应多数载流子跨结所面对的平衡能量势垒，尺度为 $qV_{\mathrm{bi}}$。必须区分：$V_{\mathrm{bi}}$ 是电势差，$qV_{\mathrm{bi}}$ 是能量。4
4.2 内建电势公式如何得到
在热平衡下，整个器件具有共同的费米能级。对于非简并同质结：
$$ n=N_C\exp\left(-\frac{E_C-E_F}{k_BT}\right). $$
因此两侧准中性区的电子浓度之比满足：
$$ \frac{n_{n0}}{n_{p0}} = \exp\left(\frac{E_{C,p}-E_{C,n}}{k_BT}\right) = \exp\left(\frac{qV_{\mathrm{bi}}}{k_BT}\right). $$
另一方面：
$$ n_{n0}\approx N_D, \qquad n_{p0}\approx\frac{n_i^2}{N_A}. $$
代入并取自然对数，得到：
$$ \boxed{ V_{\mathrm{bi}} = \frac{k_BT}{q} \ln\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right) = V_T\ln\left(\frac{N_A N_D}{n_i^2}\right). } $$
这条式子依赖两端的平衡载流子统计，不要求过渡区域一定是理想突变；后面简单的耗尽宽度公式才额外使用突变结模型。1 4
4.3 从公式提取趋势
固定材料与温度，并在上述近似仍成立时，提高 $N_A$ 或 $N_D$ 通常会增加 $V_{\mathrm{bi}}$，但这是对数变化，不是线性变化。
若只有一侧掺杂提高 10 倍：
$$ \Delta V_{\mathrm{bi}}=V_T\ln 10. $$
在 $300\ \mathrm K$，采用 $V_T\approx25.85\ \mathrm{mV}$，可算得约 $59.5\ \mathrm{mV}$。
研究温度变化时，则必须同时考虑 $n_i(T)$。不能只看到 $k_BT/q$ 增大，就断言内建电势随温度升高而增大。
4.4 有内建电势，为什么 PN 结不是一块电池
平衡 PN 结内部可以存在静电势差，但普通电压表接在完整器件的两个端子上，并不会在无光照、无温差、无外加激励的热平衡状态下直接读到这个内建电势。
原因是完整测量回路还包含金属与半导体接触等界面；热平衡时没有可持续驱动外部电流的电化学势差。不能只截取结区内部的一段电势差，把它当成可对外供能的电源。4
5. 耗尽区的电场与宽度：一步步推导
本章是计算题的核心。第一遍可以先理解“电荷决定电场、电场积分给出电势”，第二遍再推导全部公式。采用第 0 章的突变结与耗尽近似。1
5.1 从 Poisson 方程开始
一维静电关系：
$$ \frac{dE}{dx}=\frac{\rho_{\mathrm{ch}}}{\varepsilon_s}, \qquad \frac{d^2\phi}{dx^2}=-\frac{\rho_{\mathrm{ch}}}{\varepsilon_s}. $$
结区两侧的边界条件取为：
$$ E(-x_p)=0, \qquad E(x_n)=0. $$
它们对应基础模型中耗尽区外均匀准中性区域的近零电场。
5.2 P 侧电场
P 侧耗尽区中：
$$ \rho_{\mathrm{ch}}=-qN_A. $$
积分并使用 $E(-x_p)=0$：
$$ \boxed{ E(x)=-\frac{qN_A}{\varepsilon_s}(x+x_p), \qquad -x_p\le x\le0. } $$
电场从左边界的零，线性下降到结处的负值。
5.3 N 侧电场
N 侧耗尽区中：
$$ \rho_{\mathrm{ch}}=+qN_D. $$
由 $E(x_n)=0$ 得：
$$ \boxed{ E(x)=\frac{qN_D}{\varepsilon_s}(x-x_n), \qquad0\le x\le x_n. } $$
该表达式在耗尽区内同样为负。
所以 $E(x)$ 近似是一条位于零轴下方的三角形曲线：
E(x)
0 ───────────╲ ╱───────────
╲ ╱
╲ ╱
╲ ╱
╲ ╱
╲ ╱
╲ ╱
╲ ╱
╲ ╱
╲╱
-xp 0 xn → x
E(0) < 0
图形只表达符号与分段线性关系，左右宽度不一定相等。
5.4 为什么两边的空间电荷量必须相等
在没有界面片电荷的同质结模型中，$x=0$ 处的电场连续：
$$ -\frac{qN_Ax_p}{\varepsilon_s} = -\frac{qN_Dx_n}{\varepsilon_s}. $$
因此：
$$ \boxed{N_Ax_p=N_Dx_n.} $$
每单位面积的负电荷量大小等于正电荷量大小：
$$ \frac{|Q_P|}{A}=qN_Ax_p, \qquad \frac{|Q_N|}{A}=qN_Dx_n. $$
两边电荷量相等，不代表两边耗尽宽度相等。
5.5 电势差是电场曲线的积分
定义耗尽区上的电势差为 $V_{\mathrm{dep}}$。零偏压时，它等于 $V_{\mathrm{bi}}$：
$$ V_{\mathrm{dep}} =-\int_{-x_p}^{x_n}E(x)\,dx. $$
对两侧分别积分：
$$ \boxed{ V_{\mathrm{dep}} = \frac{q}{2\varepsilon_s} \left(N_Ax_p^2+N_Dx_n^2\right). } $$
也可以从三角形面积理解：
$$ \boxed{ V_{\mathrm{dep}}=\frac12 E_{\max}W, } $$
其中 $E_{\max}=|E(0)|$ 是峰值电场的大小。
5.6 总耗尽宽度
将 $W=x_p+x_n$ 与 $N_Ax_p=N_Dx_n$ 联立，可得：
$$ \boxed{ x_p=\frac{N_D}{N_A+N_D}W, \qquad x_n=\frac{N_A}{N_A+N_D}W. } $$
代入电势差公式：
$$ \boxed{ W= \sqrt{ \frac{2\varepsilon_s}{q} \left(\frac1{N_A}+\frac1{N_D}\right) V_{\mathrm{dep}} }. } $$
零偏压时：
$$ \boxed{ W_0= \sqrt{ \frac{2\varepsilon_sV_{\mathrm{bi}}}{q} \left(\frac1{N_A}+\frac1{N_D}\right) }. } $$
5.7 为什么耗尽区主要伸向低掺杂侧
由电荷平衡直接得到：
$$ \boxed{\frac{x_p}{x_n}=\frac{N_D}{N_A}.} $$
若 $N_A\gg N_D$，即 P 侧重掺杂、N 侧轻掺杂：
$$ x_p\ll x_n, \qquad W\approx x_n. $$
此时：
$$ \boxed{ W\approx\sqrt{\frac{2\varepsilon_sV_{\mathrm{dep}}}{qN_D}}. } $$
物理原因是：轻掺杂一侧单位体积的固定电荷少，需要更大的宽度才能提供相同的电荷量。
口诀：电荷两边等，宽度轻侧大。
5.8 峰值电场
$$ \boxed{ E_{\max} = \frac{qN_Ax_p}{\varepsilon_s} = \frac{qN_Dx_n}{\varepsilon_s} = \frac{2V_{\mathrm{dep}}}{W}. } $$
单边结的近似为：
$$ \boxed{ E_{\max} \approx \sqrt{\frac{2qN_{\mathrm{light}}V_{\mathrm{dep}}}{\varepsilon_s}}. } $$
这条关系是理解反偏击穿和工艺掺杂取舍的重要起点。
5.9 电势分布：选学
取 $\phi(-x_p)=0$，则：
$$ \phi(x)= \begin{cases} \dfrac{qN_A}{2\varepsilon_s}(x+x_p)^2, & -x_p\le x\le0,\\[6pt] V_{\mathrm{dep}}-\dfrac{qN_D}{2\varepsilon_s}(x_n-x)^2, & 0\le x\le x_n. \end{cases} $$
所以电荷密度是分段常数，电场是分段一次函数，电势是分段二次函数。它们不是三个独立的图，而是同一个静电问题的不同表达。
6. 能带图：把电场问题换成能量语言
6.1 热平衡时费米能级是一条水平线
热平衡下：
$$ \boxed{E_F=\text{constant}.} $$
但共同的费米能级不意味着两边电子浓度相同。浓度取决于 $E_C-E_F$ 和 $E_F-E_V$，两侧的带边位置不同。4
P 区的 $E_F$ 靠近价带，N 区的 $E_F$ 靠近导带。这些条件与共同的 $E_F$ 一起，决定了平衡时的能带形状。
6.2 左 P、右 N 时，能带从左向右降低
对于同一种材料、忽略带隙变化时：
$$ E_C(x)=\text{constant}-q\phi(x), $$
$$ E_V(x)=E_C(x)-E_g. $$
由于从 P 向 N，$\phi$ 增加，因此 $E_C$ 和 $E_V$ 都降低：
能量 ↑
P 区 耗尽区 N 区
EC ───────────────╲
╲
╲────────────────────── EC
EF ───────────────────────────────────────────
EV ───────────────╲
╲
╲────────────────────── EV
────────────────────────────────────────────→ x
示意图不按比例绘制；真实耗尽近似下带边是平滑衔接的分段抛物线。
图中的关键是：共同的 $E_F$、同质结近似相同的带隙、P 侧高于 N 侧的带边，以及跨结的能量差 $qV_{\mathrm{bi}}$。
6.3 能带斜率和电场直接相连
以能量的 SI 单位表示时：
$$ \boxed{\frac{dE_C}{dx}=qE(x).} $$
所以向右下降的导带对应负的电场分量，也就是电场向左。
“能带弯曲”不是晶体真的弯了，而是电子能量随位置变化。
6.4 三条判断规则
先看偏置状态。只有热平衡时，才可用一条共同的平坦费米能级描述整个结构。
再看局部浓度。$E_C$ 越接近电子费米能级，电子浓度越高；$E_V$ 越接近空穴费米能级，空穴浓度越高。
最后看方向。电势升高，电子能量降低；不要把 $\phi(x)$ 与 $E_C(x)$ 画成同向变化。
7. 正向与反向偏置
7.1 统一使用同一个外加电压定义
定义外加端电压：
$$ V=V_{\mathrm{P端}}-V_{\mathrm{N端}}. $$
在低注入、准中性区域串联压降可以忽略时，耗尽区电势差近似为：
$$ \boxed{V_{\mathrm{dep}}\approx V_{\mathrm{bi}}-V.} $$
这里的外加端电压与零偏压下的内部静电势差不是同一个量。2
7.2 正向偏置：P 接正，N 接负
电源正端 PN 结 电源负端
+ ───────────────── P | N ───────────────── -
$V>0$，势垒降低：
$$ V_{\mathrm{dep}}\approx V_{\mathrm{bi}}-V, $$
$$ \Delta E_{\mathrm{barrier}}\approx q(V_{\mathrm{bi}}-V). $$
在基础耗尽模型适用范围内：
$$ W(V)= \sqrt{ \frac{2\varepsilon_s}{q} \left(\frac1{N_A}+\frac1{N_D}\right) (V_{\mathrm{bi}}-V) }. $$
所以正偏使耗尽区变窄、势垒下降，跨结注入增加。
不要把正向导通仅仅理解为“耗尽区变薄所以像电阻一样更容易通过”。关键机制是势垒变化导致注入到对侧的少数载流子浓度显著增加，进而建立扩散电流。2 3
7.3 反向偏置：P 接负，N 接正
电源负端 PN 结 电源正端
- ───────────────── P | N ───────────────── +
设反偏幅值 $V_R>0$，则 $V=-V_R$：
$$ V_{\mathrm{dep}}\approx V_{\mathrm{bi}}+V_R. $$
因此：
$$ \boxed{ W(V_R)= \sqrt{ \frac{2\varepsilon_s}{q} \left(\frac1{N_A}+\frac1{N_D}\right) (V_{\mathrm{bi}}+V_R) }. } $$
反偏增加时，耗尽区变宽，峰值电场也增大，多数载流子的跨结注入受到抑制。
7.4 三种状态对照
| 状态 | 外加电压 | 耗尽区电势差 | 耗尽宽度 | 电流特征 |
|---|---|---|---|---|
| 热平衡 | $V=0$ | $V_{\mathrm{bi}}$ | $W_0$ | $J_n=J_p=0$ |
| 正向偏置 | $V>0$ | 近似 $V_{\mathrm{bi}}-V$ | 减小 | 载流子注入增强，电流上升 |
| 反向偏置 | $V=-V_R<0$ | 近似 $V_{\mathrm{bi}}+V_R$ | 增大 | 击穿前通常只有较小反向电流 |
适用边界：不能把正偏耗尽宽度公式一直外推到 $V\ge V_{\mathrm{bi}}$，然后得出“耗尽区突然消失”或“出现虚数宽度”。接近强正偏时，高注入、串联电阻和移动电荷贡献等效应会破坏原来的近似。
7.5 有偏置时需要准费米能级
非平衡下，电子与空穴通常分别用 $E_{Fn}$、$E_{Fp}$ 描述，而不是强行使用同一个水平的 $E_F$。
在非简并条件下：
$$ n=N_C\exp\left(-\frac{E_C-E_{Fn}}{k_BT}\right), $$
$$ p=N_V\exp\left(-\frac{E_{Fp}-E_V}{k_BT}\right). $$
于是：
$$ np=n_i^2\exp\left(\frac{E_{Fn}-E_{Fp}}{k_BT}\right). $$
这也解释了为什么偏置后的器件不能处处套用热平衡的 $np=n_i^2$。准费米能级的完整空间分布可留到后续器件输运课程再深入。2 4
8. 二极管电流：为什么是指数规律
8.1 跨到另一侧，多数载流子变成少数载流子
正偏时，N 区电子注入 P 区，成为 P 区的过剩少数载流子；P 区空穴注入 N 区，成为 N 区的过剩少数载流子。
N 区多数电子 → 跨过结区 → P 区过剩少数电子
P 区多数空穴 → 跨过结区 → N 区过剩少数空穴
理想结的边界条件为：
$$ \boxed{ n_p(-x_p)=n_{p0}\exp\left(\frac{V}{V_T}\right), } $$
$$ \boxed{ p_n(x_n)=p_{n0}\exp\left(\frac{V}{V_T}\right). } $$
因此边界处的过剩少数载流子浓度是：
$$ \Delta n_p(-x_p) =n_{p0}\left[\exp\left(\frac{V}{V_T}\right)-1\right], $$
$$ \Delta p_n(x_n) =p_{n0}\left[\exp\left(\frac{V}{V_T}\right)-1\right]. $$
指数项来自势垒对载流子统计分布的调制，而不是凭经验为 I-V 曲线选择的函数。3
8.2 少数载流子向准中性区内部扩散并复合
以 N 区的过剩空穴为例，若 N 区足够长、低注入并采用简单寿命近似：
$$ \Delta p_n(x) = \Delta p_n(x_n) \exp\left(-\frac{x-x_n}{L_p}\right), \qquad x\ge x_n, $$
其中：
$$ L_p=\sqrt{D_p\tau_p}. $$
$L_p$ 是少数空穴的扩散长度，$\tau_p$ 是相关有效复合寿命。P 区少数电子类似：
$$ L_n=\sqrt{D_n\tau_n}. $$
扩散长度不是耗尽宽度，也不是两次散射之间的平均自由程。它描述载流子在发生复合前扩散的空间尺度。2
8.3 从扩散电流得到二极管方程
在长基区、低注入的理想模型中，对边界处的少数载流子分布求导，并代入上一课的扩散电流公式，可得到：
$$ \boxed{ J=J_S\left[\exp\left(\frac{V}{V_T}\right)-1\right], } $$
其中：
$$ \boxed{ J_S = qn_i^2 \left( \frac{D_n}{L_nN_A} + \frac{D_p}{L_pN_D} \right). } $$
乘以结面积 $A$，得到：
$$ \boxed{ I=I_S\left[\exp\left(\frac{V}{V_T}\right)-1\right], \qquad I_S=AJ_S. } $$
短基区等结构会改变 $I_S$ 的具体表达，不能不加判断地套用上面的长基区公式。3
8.4 正向电流为什么增长很快
当正向电压足够大，使指数项远大于 1，且理想模型仍适用：
$$ I\approx I_Se^{V/V_T}. $$
所以两个偏置点的电流之比为：
$$ \frac{I_2}{I_1}\approx\exp\left(\frac{V_2-V_1}{V_T}\right). $$
若电流增大 10 倍：
$$ \Delta V\approx V_T\ln10. $$
在 $300\ \mathrm K$、理想因子为 1 时，约增加 $59.5\ \mathrm{mV}$ 就对应电流增大一数量级。这是理想指数区内的关系，不代表所有实际偏置区间都满足。
8.5 硅二极管没有严格固定的“0.7 V 开关点”
理想方程是连续函数，没有一个恰好为 $0.7\ \mathrm V$ 的数学开关点。
工程上使用的固定导通压降是特定电流、器件结构与温度附近的简化。真实正向压降会受到 $I_S$、结面积、温度、复合机制和串联电阻等影响。3
8.6 理想反向电流
当 $V<0$ 且 $|V|\gg V_T$，但还未出现击穿：
$$ e^{V/V_T}\approx0, $$
因此：
$$ \boxed{I\approx-I_S.} $$
从物理上看，反向电场能够收集到达耗尽区的少数载流子；理想模型中的反向电流受这些载流子的供给与输运限制，而不是“电场为零”或“完全没有载流子”。
8.7 真实反向漏电不一定严格饱和
实际器件还可能存在耗尽区热产生、缺陷辅助过程、表面与边缘漏电、带间隧穿，以及强电场下的倍增等贡献。因此反向电流可能随反偏、温度、结面积或周长变化。3 4
8.8 理想因子与模型边界
拟合实际二极管时，常引入理想因子 $\eta$：
$$ I\approx I_S\left[\exp\left(\frac{V}{\eta V_T}\right)-1\right]. $$
使用 $\eta$ 而不使用 $n$，是为了避免与电子浓度混淆。理想扩散主导区通常有 $\eta\approx1$；某些耗尽区复合主导条件下可接近 2，但不能把所有器件、所有偏置的理想因子都强行限制在一个简单范围内。
串联电阻明显时，外加端电压还包括 $IR_s$ 压降；高注入、复合和温升也会使简单指数关系失效。3
9. 拓展：PN 结为什么还有电容
9.1 耗尽层电容
改变偏压会改变耗尽宽度，也改变两侧空间电荷量，因此 PN 结具有小信号耗尽层电容。
在一维耗尽近似下，电容大小为：
$$ \boxed{C_j=\frac{\varepsilon_s A}{W}.} $$
每单位面积的电容为：
$$ c_j=\frac{C_j}{A}=\frac{\varepsilon_s}{W}. $$
反偏增加，$W$ 增大，因此 $C_j$ 减小。4
9.2 为什么 C-V 可以帮助判断掺杂
代入突变结宽度公式：
$$ \boxed{ \frac1{C_j^2} = \frac{2(V_{\mathrm{bi}}+V_R)}{q\varepsilon_s A^2} \left(\frac1{N_A}+\frac1{N_D}\right). } $$
因此理想均匀突变结的 $1/C_j^2$ 与 $V_R$ 呈线性关系。
对于 $N_A\gg N_D$ 的单边结：
$$ \frac1{C_j^2} \approx \frac{2(V_{\mathrm{bi}}+V_R)}{q\varepsilon_sA^2N_D}. $$
若斜率为：
$$ m=\frac{d(1/C_j^2)}{dV_R}, $$
则在相应近似下：
$$ \boxed{N_D\approx\frac{2}{q\varepsilon_sA^2m}.} $$
真实测量还需要考虑结面积、边缘电容、寄生电容、频率、串联电阻和陷阱响应，不能见到一条曲线就直接宣布掺杂浓度。4
9.3 正偏还会引入扩散电容
正偏会储存过剩少数载流子，偏置改变时，这部分储存电荷也随之变化，产生扩散电容。
因此 $C_j=\varepsilon_sA/W$ 描述的是耗尽层电容，不能替代所有偏置条件下测到的总电容。4
10. 反向击穿：强电场带来的两种机制
10.1 为什么反偏加大最终会改变电流规律
反偏增加时，耗尽宽度与峰值电场都变化。当强场过程产生足够多的载流子，反向电流会迅速增长，进入击穿区。
这已经超出了简单的 $I\approx-I_S$ 模型。4
10.2 齐纳击穿：带间隧穿
重掺杂结的耗尽区通常较窄，局部电场可以很强。在合适的能带对齐下，电子能够由 P 侧价带隧穿到 N 侧导带，形成明显的带间隧穿电流。
较高掺杂
↓
较窄耗尽区与较强局部电场
↓
带间隧穿概率增大
↓
反向电流迅速增加
它的核心是量子隧穿，不是载流子先获得很大动能后碰撞电离。4
10.3 雪崩击穿：碰撞电离与倍增
载流子在电场中获得能量；具有足够能量时，可以通过碰撞电离产生新的电子-空穴对。新载流子继续加速并触发更多电离，使电流倍增。
原有载流子
↓ 电场加速
获得能量
↓ 碰撞电离
产生新的电子-空穴对
↓
更多载流子参与电离与反馈
↓
雪崩倍增
不能只凭“耗尽区宽”就判断是否击穿，还需要考虑电场分布、载流子能量弛豫、碰撞电离概率及倍增反馈。4
10.4 对照表
| 项目 | 齐纳／带间隧穿 | 雪崩 |
|---|---|---|
| 核心机制 | 量子隧穿 | 碰撞电离与载流子倍增 |
| 常见有利条件 | 重掺杂、窄势垒、强场 | 有足够电场与路径支持碰撞电离 |
| 应关注的物理量 | 带隙、有效质量、场强、势垒形状 | 电场分布、离化系数、材料与温度 |
| 简化趋势 | 常见于较低击穿电压的重掺杂结 | 常见于较高耐压的结 |
真实器件中两种机制可能共同贡献，不宜用一个固定电压值把它们绝对分开。
10.5 击穿是否一定意味着器件烧毁
不一定。击穿是一种强场导电机制；在设计允许、限流与散热适当的情况下，某些器件专门工作在击穿区。电流或功耗失控导致的热损伤，才是另一回事。4
11. 从 PN 结回到半导体工艺
11.1 MOSFET 的源漏与体区之间就有 PN 结
以简化 NMOS 为例：
栅极
┌────────┐
│ Gate │
└────────┘
栅介质
──────────────────────────────────────
n+ 源区 n+ 漏区
p 型体区
N 型源区与 P 型体区之间形成结，N 型漏区与 P 型体区之间也形成结。正常偏置设计通常需要避免这些寄生结明显正向导通。
因此源漏掺杂并不仅决定电阻，还会影响结电容、漏电和击穿等性质。4
11.2 注入与退火改变的不只是一项参数
离子种类、能量、剂量、角度
↓
化学掺杂分布与晶格损伤
↓
退火中的激活、损伤恢复和杂质再分布
↓
有效掺杂分布 ND(x)、NA(x)
↓
结位置、耗尽宽度、电场与输运
↓
电阻、漏电、结电容、击穿和可靠性
“能量管深浅，剂量管多少”适合作为入门直觉，但最终的有源掺杂分布和结深还受到离子种类、沟道效应、激活程度、退火扩散等影响。
11.3 三组特别容易混淆的量
第一组：化学掺杂浓度与电活性掺杂浓度。测到材料里有多少杂质原子，不等于其中每个原子都成为有效电离杂质。工艺分析应明确测量方法反映的是哪一种浓度。
第二组：冶金结深与耗尽宽度。前者由有效净掺杂类型的交界位置决定；后者还随偏压变化。改变工作偏压可以显著改变 $W$，但不会因此把晶格中的杂质原子搬到别处。
第三组：杂质原子扩散与载流子扩散。高温退火中的杂质扩散改变 $N_D(x)$、$N_A(x)$；器件运行中的电子、空穴扩散则属于电荷输运。两者都叫扩散，但运动对象和时间尺度不同。
11.4 为什么不能只追求更高掺杂
在相关条件可比、基础模型适用时，增加掺杂可以增加载流子浓度并帮助降低某些电阻，但也可能缩窄耗尽区、增加结电容，并增强局部电场和隧穿相关风险。迁移率和激活率还可能发生变化。
因此不能仅凭“掺得更高”就判断工艺更优，也不能把理想 $I_S$ 公式中某一项随掺杂降低的趋势，直接当成所有真实漏电机制的趋势。
工艺优化是在电阻、结电容、漏电、耐压、结深和热预算之间寻找可接受的窗口。4
11.5 示例：退火后结漏电增加，怎样分析
这是学习用诊断框架，不是对某一具体设备或批次的结论。
先确认测量。比较相同温度、反偏、结面积、测试等待时间、探针接触和仪器量程；检查重复性，避免把测试条件变化误认为材料变化。
再定位异常范围。查看是否与特定批次、晶圆位置、版图边缘、注入条件或热处理步骤相关。观察的是整体电流偏高，还是击穿提前，或某一偏置区间发生变化。
最后按机制提出假设并验证。候选方向包括残余损伤与缺陷、有效掺杂或结深变化、表面及边缘状态、局部电场集中。结合可用的 I-V、C-V、掺杂剖面或缺陷表征，设计受控对照，而不是立刻更改多个工艺参数。
这个框架来自本课的物理关系：先区分“载流子供给变化”“结区静电变化”和“额外缺陷或边缘通道”，再寻找证据。
12. 四组计算例题
以下都是学习用假设算例，不对应真实产品参数。统一采用：
$$ T=300\ \mathrm K,\qquad V_T\approx0.025852\ \mathrm V, $$
$$ q=1.60218\times10^{-19}\ \mathrm C, $$
$$ \varepsilon_s=11.7\varepsilon_0, \qquad \varepsilon_0\approx8.85419\times10^{-14}\ \mathrm{F/cm}, $$
$$ \varepsilon_s\approx1.03594\times10^{-12}\ \mathrm{F/cm}. $$
为保持与前两课的估算口径一致，取：
$$ n_i=1.0\times10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}. $$
实际计算应使用题目给定或与材料模型一致的 $n_i(T)$，不同资料的近似取值可能带来数值差异。
例题一：内建电势与两侧少数载流子浓度
已知：
$$ N_A=10^{17}\ \mathrm{cm^{-3}}, \qquad N_D=10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}. $$
求平衡内建电势，以及两侧准中性区的少数载流子浓度。
解：
$$ \frac{N_AN_D}{n_i^2} = \frac{10^{17}\times10^{16}}{(10^{10})^2} =10^{13}. $$
因此：
$$ V_{\mathrm{bi}} =0.025852\ln(10^{13}) \approx\boxed{0.774\ \mathrm V}. $$
P 区平衡少数电子浓度：
$$ n_{p0}=\frac{10^{20}}{10^{17}} =\boxed{10^3\ \mathrm{cm^{-3}}}. $$
N 区平衡少数空穴浓度：
$$ p_{n0}=\frac{10^{20}}{10^{16}} =\boxed{10^4\ \mathrm{cm^{-3}}}. $$
检查点：对数中的比值必须无量纲；这里分子、分母都具有 $\mathrm{cm^{-6}}$ 的单位，能够相消。
例题二：零偏耗尽宽度、分配与峰值电场
沿用例题一参数。
$$ W_0= \sqrt{ \frac{2(1.03594\times10^{-12})}{1.60218\times10^{-19}} \left(\frac1{10^{17}}+\frac1{10^{16}}\right) (0.77384) }. $$
计算得：
$$ W_0\approx3.3178\times10^{-5}\ \mathrm{cm} =\boxed{0.332\ \mu\mathrm m}. $$
因为 $N_A=10N_D$：
$$ x_p=\frac1{11}W_0 \approx\boxed{0.0302\ \mu\mathrm m}, $$
$$ x_n=\frac{10}{11}W_0 \approx\boxed{0.302\ \mu\mathrm m}. $$
峰值电场大小：
$$ E_{\max} =\frac{2V_{\mathrm{bi}}}{W_0} \approx\boxed{4.66\times10^4\ \mathrm{V/cm}}. $$
物理核对：N 侧掺杂更低，承担约 $10/11$ 的耗尽宽度，与直觉一致。
例题三：偏置改变后，宽度和电容怎样变化
仍沿用上述参数，比较零偏、正偏 $0.30\ \mathrm V$ 和反偏 $3.0\ \mathrm V$。
宽度比可以直接写成：
$$ \frac{W(V)}{W_0} = \sqrt{\frac{V_{\mathrm{bi}}-V}{V_{\mathrm{bi}}}}. $$
假设结面积为：
$$ A=(100\ \mu\mathrm m)^2 =10^{-4}\ \mathrm{cm^2}. $$
得到：
| 偏置 | $V_{\mathrm{dep}}$ | $W$ | $E_{\max}$ | 耗尽层电容 $C_j$ |
|---|---|---|---|---|
| 零偏 | $0.774\ \mathrm V$ | $0.332\ \mu\mathrm m$ | $4.66\times10^4\ \mathrm{V/cm}$ | $3.12\ \mathrm{pF}$ |
| 正偏 $0.30\ \mathrm V$ | $0.474\ \mathrm V$ | $0.260\ \mu\mathrm m$ | $3.65\times10^4\ \mathrm{V/cm}$ | $3.99\ \mathrm{pF}$ |
| 反偏 $3.0\ \mathrm V$ | $3.774\ \mathrm V$ | $0.733\ \mu\mathrm m$ | $1.03\times10^5\ \mathrm{V/cm}$ | $1.41\ \mathrm{pF}$ |
正偏情况下表中的电容只表示耗尽层部分，不包含扩散电容。
从结果看趋势：反偏让耗尽区更宽，但并没有让峰值电场更小，因为承担的电势差同时增加了。
例题四：正向电压增加多少，电流变成 10 倍
假设某理想二极管处于有效指数区，$T=300\ \mathrm K$、$I_S=10^{-12}\ \mathrm A$。
在 $V_1=0.50\ \mathrm V$ 时：
$$ I_1=10^{-12}\left[e^{0.50/0.025852}-1\right] \approx\boxed{0.251\ \mathrm{mA}}. $$
让电流增加约 10 倍：
$$ V_2-V_1\approx V_T\ln10 \approx0.0595\ \mathrm V. $$
所以：
$$ V_2\approx\boxed{0.5595\ \mathrm V}, \qquad I_2\approx\boxed{2.51\ \mathrm{mA}}. $$
这里是在假设温度、$I_S$ 和理想模型都不变的情况下计算。真实器件在电流增大时，可能受到串联电阻、高注入或自热限制。
13. 高频易错点
| 容易记错的说法 | 更准确的理解 |
|---|---|
| P 型整块带正电，N 型整块带负电 | 两侧远离结区通常近似电中性；P/N 指多数载流子类型 |
| 耗尽区没有电荷 | 耗尽的是移动载流子，固定杂质电荷正是电场来源 |
| 内建电场从 P 指向 N | 对普通 PN 结，内建电场从 N 指向 P |
| 热平衡时电子停止运动 | 热运动持续存在；每类载流子的漂移与扩散净贡献分别抵消 |
| 总电流为零就一定热平衡 | 零端口电流不是充分条件，还要看是否有光照等非平衡驱动 |
| 两边电荷量相等，所以耗尽宽度相等 | 宽度反比于相应掺杂；轻掺杂侧更宽 |
| 掺杂越高，内建电势和耗尽宽度都越大 | 内建电势通常对数增加，但耗尽宽度通常减小 |
| 内建电势就是可以测到的电池电压 | 内部静电势差不等于端口可提供的电动势 |
| 所有能带图都应画平坦的单一费米能级 | 只适用于热平衡；偏置后通常需要准费米能级 |
| 正偏导通只是因为耗尽区变薄 | 势垒降低和少数载流子注入才是理解指数电流的关键 |
| 硅二极管恰好到 0.7 V 才突然导通 | 固定压降是近似；实际 I-V 连续并依赖工作条件 |
| 反向电流恒为零或严格恒定 | 理想模型近似 $-I_S$；真实漏电还含多种机制 |
| 击穿必定立即损坏器件 | 是否损坏取决于器件设计、限流、功耗与散热 |
| 结深就是耗尽宽度 | 结深关联掺杂交界；耗尽宽度还随偏压变化 |
| 提高注入剂量就必然降低所有漏电 | 不同漏电机制对掺杂、损伤与电场的依赖不同 |
14. 阶段自测与参考答案
14.1 自测题
先尝试用自己的话回答，再看下面的答案。
- 实际制造中的 PN 结，为什么不应只理解成把两块材料粘起来？
- P 型与 N 型材料的多数、少数载流子分别是什么？
- P 型材料为什么通常仍近似电中性？
- 左 P、右 N 时，电子与空穴分别向哪个方向扩散？
- P 侧耗尽区和 N 侧耗尽区的固定电荷符号分别是什么？
- “耗尽近似”忽略了什么，又保留了什么？
- 内建电场指向哪里？电子漂移方向又指向哪里？
- 热平衡应满足 $J_n+J_p=0$，还是更强的 $J_n=J_p=0$？
- 写出内建电势公式，并说明至少两个适用条件。
- 若只有 $N_D$ 增加 10 倍、温度和模型不变，$V_{\mathrm{bi}}$ 增加多少？
- 若 $N_A=100N_D$，$x_p/x_n$ 等于多少？耗尽区主要在哪一侧？
- 为什么电势从 P 向 N 升高时，导带底反而降低？
- 正向、反向偏置分别如何连接电源？势垒和耗尽宽度怎样变化？
- 为什么正向电流具有指数依赖？仅说“耗尽区变薄”够不够？
- 对一个理想二极管，在 $300\ \mathrm K$ 的有效指数区，电流增加 100 倍需要约增加多少电压？
- 为什么真实反向电流可能随反向电压增加，而不是严格饱和？
- 齐纳击穿与雪崩击穿的核心机制分别是什么？
- 对同一个结，若耗尽宽度变成原来的 2 倍，耗尽层电容怎样变化？
- 冶金结深、耗尽宽度、少数载流子扩散长度有什么区别？
- 退火后漏电增加，为什么不应立即下结论“掺杂太高”或“退火不够”？
14.2 参考答案
1. 实际 PN 结通常由同一材料内部的掺杂过渡形成。注入、扩散或外延等工艺改变特定区域的有效掺杂类型；物理接触思想实验用于解释重新分布，不等于实际制造步骤。
2. P 区多数为空穴、少数为电子；N 区多数为电子、少数为空穴。
3. 移动载流子与电离杂质的电荷相互补偿。在准中性区有 $p-n+N_D^+-N_A^-\approx0$。
4. 电子从 N 向 P，空穴从 P 向 N；两者的常规扩散电流都从 P 向 N。
5. P 侧为负的电离受主电荷，N 侧为正的电离施主电荷。
6. 在计算空间电荷时忽略移动电子和空穴相对于电离杂质的贡献，保留固定杂质电荷。它不要求真实 $n,p$ 严格等于零。
7. 内建电场由 N 指向 P；电子带负电，所以电子漂移由 P 指向 N。
8. 真正热平衡要求 $J_n=0$ 且 $J_p=0$，因此总电流也为零。仅仅总电流为零不能排除非平衡状态。
9. $V_{\mathrm{bi}}=V_T\ln(N_AN_D/n_i^2)$。本课条件包括同质结、热平衡、非简并统计、近似完全电离、两端准中性区等。
10. $\Delta V_{\mathrm{bi}}=V_T\ln10$；在 $300\ \mathrm K$ 约为 $59.5\ \mathrm{mV}$。
11. $x_p/x_n=N_D/N_A=0.01$，耗尽区主要伸入轻掺杂的 N 侧。
12. 电子势能为 $-q\phi$，因此电势增加对应电子能量降低；在同质结近似中 $E_C=\mathrm{constant}-q\phi$。
13. 正偏 P 接正、N 接负，势垒降低、耗尽区变窄；反偏 P 接负、N 接正，势垒升高、耗尽区变宽。上述结论针对基础模型的适用偏置范围。
14. 正偏降低势垒，使耗尽边界的少数载流子浓度具有 $e^{V/V_T}$ 因子；它们在准中性区的输运建立电流。只说宽度变化不能解释指数关系。
15. $\Delta V\approx V_T\ln100\approx0.119\ \mathrm V$，假设理想因子为 1，温度和模型不变。
16. 真实器件可包含耗尽区产生、缺陷和表面漏电、隧穿及倍增等贡献，其电压依赖不同于理想饱和项。
17. 齐纳机制为带间隧穿；雪崩机制为载流子加速后的碰撞电离与倍增反馈。
18. 由 $C_j=\varepsilon_sA/W$，在面积和介电常数不变时，耗尽层电容变为原来的 $1/2$。
19. 冶金结深关联有效掺杂类型改变的位置；耗尽宽度是特定偏置下的空间电荷区域宽度；扩散长度 $L=\sqrt{D\tau}$ 描述少数载流子复合前的扩散尺度。
20. 同一个漏电结果可能来自测试条件、晶格缺陷、有效掺杂、结深、边缘状态或局部电场等不同原因，必须先确认测量，再定位范围并用受控实验区分机制。
15. 一页公式速记
以下公式均应与正文中的适用条件一起使用。
15.1 热平衡载流子与内建电势
$$ np=n_i^2, \qquad n_{p0}\approx\frac{n_i^2}{N_A}, \qquad p_{n0}\approx\frac{n_i^2}{N_D}. $$
$$ V_T=\frac{k_BT}{q} \approx25.85\ \mathrm{mV}\quad(300\ \mathrm K). $$
$$ \boxed{V_{\mathrm{bi}}=V_T\ln\left(\frac{N_AN_D}{n_i^2}\right).} $$
15.2 电荷、电场和宽度
$$ N_Ax_p=N_Dx_n, \qquad W=x_p+x_n. $$
$$ \boxed{ W= \sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{q} \left(\frac1{N_A}+\frac1{N_D}\right) (V_{\mathrm{bi}}-V)}. } $$
$$ x_p=\frac{N_D}{N_A+N_D}W, \qquad x_n=\frac{N_A}{N_A+N_D}W. $$
$$ \boxed{E_{\max}=\frac{2(V_{\mathrm{bi}}-V)}{W}.} $$
反偏时将 $V$ 换成 $-V_R$，即把 $(V_{\mathrm{bi}}-V)$ 换成 $(V_{\mathrm{bi}}+V_R)$。
15.3 电流与电容
$$ \boxed{I=I_S\left(e^{V/V_T}-1\right).} $$
$$ I_S=Aqn_i^2 \left(\frac{D_n}{L_nN_A}+\frac{D_p}{L_pN_D}\right) \quad\text{（理想长基区模型）}. $$
$$ \boxed{C_j=\frac{\varepsilon_sA}{W}.} $$
15.4 单位检查
若浓度使用 $\mathrm{cm^{-3}}$，则把介电常数写成 $\mathrm{F/cm}$，得到的宽度就是厘米，电场是 $\mathrm{V/cm}$。
$$ 1\ \mu\mathrm m=10^{-4}\ \mathrm{cm}, \qquad 1\ \mathrm{nm}=10^{-7}\ \mathrm{cm}. $$
电流密度与电流不要混用：
$$ I=JA. $$
面积换算需要平方，例如：
$$ (100\ \mu\mathrm m)^2=(10^{-2}\ \mathrm{cm})^2 =10^{-4}\ \mathrm{cm^2}. $$
16. 本课知识树与学习完成标准
掺杂差异：P 区 / N 区
↓
电子、空穴浓度不同
↓
扩散与载流子重新分布
↓
未被补偿的固定杂质电荷
↓
耗尽区 / 空间电荷区
↓
内建电场与电势差
↓
漂移抵消扩散，热平衡
↓
共同的费米能级 + 空间变化的能带
↓
外加偏置改变势垒与注入
┌────┴────┐
↓ ↓
正偏 反偏
↓ ↓
少数载流子注入 耗尽区变宽
↓ ↓
指数电流 电容减小、场强增加
↓
漏电与强场击穿
完成本课，不是把所有式子默写一遍就结束，而是能够完成三件事：
用物理语言解释形成过程。从浓度差讲到固定电荷、内建场和热平衡，讲清楚方向与电荷符号。
用统一条件做计算。能计算 $V_{\mathrm{bi}}$、$W$、$x_p/x_n$ 和 $E_{\max}$，能解释偏置如何改变结果，并知道近似何时失效。
用器件结果反推工艺问题。看到漏电、结电容或击穿变化，能想到掺杂分布、缺陷、边缘电场与测量条件，而不是只尝试调整一个参数。
下一课进入 MOS 电容。PN 结让我们看到掺杂过渡如何建立空间电荷与能带弯曲；MOS 电容则研究外加栅压如何通过绝缘层，调节半导体表面的积累、耗尽与反型。
17. 参考资料
以下资料用于核对基础模型与进一步学习。
[1] MIT OpenCourseWare，Clifton Fonstad，6.012 Lecture 4: p-n Junctions: Electrostatics。热平衡、反向偏置与耗尽近似。课程讲义页面
[2] MIT OpenCourseWare，Clifton Fonstad，6.012 Lecture 5: p-n Junction Injection and Flow。偏置后的载流子注入、准中性区输运和少数载流子扩散。课程讲义页面
[3] MIT OpenCourseWare，Clifton Fonstad，6.012 Lecture 6: p-n Junctions: I-V Relationship。理想电流方程、注入边界条件与模型偏离。课程讲义页面
[4] Chenming Hu，Modern Semiconductor Devices for Integrated Circuits，第 4 章：PN and Metal–Semiconductor Junctions。重点参阅 4.1～4.5 的静电、结电容与击穿，以及后续 PN 结输运部分。作者公开教材 PDF
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